Grata Experiencia

Texto Matemático

1)    $\sum (-1)^{n}b_{n}$ es una serie alternada, veamos que se verifica la hipotesis del criterio de Leibniz.

$\lim\limits_{n \to+\infty}b_{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(n-\sqrt{n^{2}-1}\right)=\lim\limits_{n \to+\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n^{2}-1}}=0$

Por otra parte,

$b_{n+1}-b_{n}=\frac{1}{n+1+\sqrt{\left(  n+1\right)^{2}}-1}- \frac{1}{n+\sqrt{n^{2}-1}}  < 0 $,

lo cual implica que $b_n$ es decreciente. la serie dada es convergente.

2)    $\sum\frac{1}{a_n}=\sum\frac{1}{n+\sqrt{n^{2}-1}}$ es serie de términos positivos. Entonces,

$\lim\limits_{n \to+\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n^{2}-1}}:\frac{1}{n}=\lim\limits_{n \to+\infty}\frac{n}{n+\sqrt{n^{2}-1}}=1\not=0,$

y la serie de términos positivos $\sum\frac{1}{n}$ es divergente. Por el criterio de comparación por cociente, la serie $\sum \frac{1}{a_n}$ es divergente.

3)    $\sum b^2_n =\sum \left(n-\sqrt{n^{2}-1}\right)^2$ es serie de términos positivos. Multiplicando y dividiendo por expresión conjugada:

$\sum b^2_n =\sum\frac{1}{\left(n-\sqrt{n^{2}-1}\right)}^2$.

Ahora bien,

 $\lim\limits_{n \to+\infty}\frac{1}{\left(n-\sqrt{n^{2}-1}\right)}^2 : \frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}\not=0,$

y la serie de Riemann $\sum\frac{1}{n^2}$ es convergente, luego también lo es $\sum b^2_n$ como consecuencia del criterio e omparación por cociente.

4)    Como $a_n +b_n=2n,$ la serie dada es:

$\sum e^{-a_n+b_n} =\sum e^{-2n} =\sum\left(\frac{1}{e^2}\right)^n$,
$1\ e^2 < 1$ luego $ \sum e^ {-a_n+b_n} $ es convergente por el conocido teorema sobre la convergencia de serie geométricas.


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